| 1. | Finding rational points on a general elliptic curve is a difficult problem.
Trouver des points rationnels sur une courbe elliptique générale est un problème difficile. |
| 2. | Thomae's function is discontinuous at every rational point, but continuous at every irrational point.
La fonction de Thomae est discontinue en tout rationnel et continue en tout irrationnel. |
| 3. | In particular, it can be used to evaluate hypergeometric series at rational points.
Le scindage binaire est par exemple utilisé pour l'évaluation de séries hypergéométriques en des points rationnels. |
| 4. | For example, consider the ellipse x2 + xy + y2 = 1, where (−1, 0) is a rational point.
Considérons par exemple l'ellipse x2 + xy + y2 = 1, pour laquelle (−1, 0) est un point rationnel. |
| 5. | Mazur's first proof of this theorem depended upon a complete analysis of the rational points on certain modular curves.
La première preuve par Mazur de ce théorème reposait sur l'analyse complète des points rationnels de certaines courbes modulaires. |
| 6. | A basic question in this direction is: are there finitely or infinitely many rational points on a given curve (or surface)?
Une question fondamentale dans cette direction est la suivante : existe-t-il un nombre fini ou infini de points rationnels sur une courbe (ou surface) donnée ? |
| 7. | Mordell (1922) proved Mordell's theorem: the group of rational points on an elliptic curve has a finite basis.
En 1922, Louis Mordell a démontré le théorème de Mordell : le groupe abélien des points rationnels de toute courbe elliptique définie sur le corps des rationnels est de type fini. |
| 8. | Such curves defined over the rational numbers, by Faltings's theorem, can have only a finite number of rational points, and they may be viewed as having a hyperbolic geometry structure.
Définies sur les rationnels, le théorème de Faltings montre qu'elles ne peuvent avoir qu'un nombre fini de points rationnels ; elles peuvent être munies d'une structure hyperbolique. |
| 9. | An elliptic curve may be defined as any curve of genus one with a rational point: a common model is a nonsingular cubic curve, which suffices to model any genus one curve.
Une courbe elliptique peut être définie comme une courbe algébrique de genre 1 ayant un point rationnel : elles ont toutes pour modèle commun les cubiques non singulières. |
| 10. | In Diophantine geometry, one asks whether there are any rational points (points all of whose coordinates are rationals) or integral points (points all of whose coordinates are integers) on the curve or surface.
En géométrie diophantienne, on se demande s'il existe des points rationnels (points dont toutes les coordonnées sont rationnelles) ou des points entiers (points dont toutes les coordonnées sont des entiers) sur la courbe ou la surface. |
